ΑΡΙΘΜΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Η πρώτη φυσική διάκριση των Αριθμών είναι σε ΜΟΝΟΥΣ και σε ΖΥΓΟΥΣ.
 ΟΙ ζυγοί αριθμοί είναι εκείνη πού μπορούν ΝΑ διαιρεθούν σε δύο ίσα μέρη, χωρίς νά αφήσουν τη μονάδα σαν υπόλοιπο. Οι μονοί αριθμοί, όταν χωριστούν σε δύο ίσα μέρη, αφήνουν και μία μονάδα σαν υπόλοιπο. Όλοι οι ζυγοί αριθμοί, έκτός από τη δυάδα, το δύο, πού είναι απλώς δύο μονάδες, μπορούν να χωριστούν σε δύο ίσα μέρη καθώς και σε δύο άνισα μέρη, άλλά και στις δύο αυτές περιπτώσεις δεν παρουσιάζονται οι άρτιοι μαζί με τους περιττούς αριθμούς, ή οι περιττοί μαζί με τους άρτιους. Ο δυαδικός αριθμός δύο δεν μπορεί νά χωριστεί σε δύο άνισα μέρη.
Έτσι το 10 χωρίζεται σε 5 και 5, πού είναι δύο ίσα μέρη, καθώς και σε 3 και 7, πού είναι περιττοί, και σε 6 και 4, πού είναι άρτιοι αριθμοί.
Αλλά ο μονός αριθμός χωρίζεται μόνο σε δύο άνισα μέρη και το ένα μέρος είναι ένας περιττός αριθμός και το άλλο ένας άρτιος αριθμός. Έτσι το 7 χωρίζεται σε 4 και 3, ή σε 5 και 2.
Οι αρχαίοι παρατήρησαν επίσης ότι ή μονάδα είναι «μονός» αριθμός και ότι είναι ο πρώτος «μονός αριθμός», γιατί δεν μπορεί νά διαιρεθεί σε δύο ίσους αριθμούς. Μία άλλη Ιδιομορφία πού παρατήρησαν ήταν ότι ή μονάδα, προστιθέμενη σε ένα ζυγό αριθμό τον καθιστούσε μονό, άλλά αν οι ζυγοί προσθέτονταν σε ζυγούς αριθμούς μας έδιδαν πάλι ζυγούς αριθμούς.
0 Αριστοτέλης στην Πυθαγορική πραγματεία του παρατηρεί ότι η μονάδα μετέχει και της φύσης του ζυγού αριθμού, γιατί όταν προστίθεται σε μονό αριθμό μας κάνει ένα ζυγό, και όταν προστίθεται σε ένα ζυγό σχηματίζεται ένας μονός αριθμός. Έτσι ονομάζεται «αρτιόμορφος μονός». 0 Αρχύτας από τον Τάραντα ήταν της ίδιας γνώμης.
Η Μονάδα είναι ή πρώτη Ιδέα του περιττού αριθμού. Κατά τον ίδιο τρόπο οι Πυθαγόρειοι θεωρούν το «δύο» σαν την «πρώτη Ιδέα της απροσδιόριστης δυάδας» και αποδίδουν τον αριθμό 2 σε κείνη την απροσδιόριστη, άγνωστη και απεριόριστη όψη στον κόσμο, ακριβώς όπως συσχετίζουν τη μονάδα με καθετί πού είναι καθορισμένο και κανονικό.
Σημείωσαν ακόμα ότι στη σειρά των αριθμών, πού αρχίζουν από τη μονάδα, οι αριθμοί αυξάνονται κάθε φορά με την προσθήκη μίας μονάδας και έτσι ο λόγος μεταξύ τους μειώνεται. Έτσι το 2 σε σχέση με το 3 είναι 1 ± 1 στο 2, δύο και μία μονάδα, τρία δεύτερα. Το 4 σε σχέση με το 3 είναι 3 και μία μονάδα, και ο λόγος είναι τέσσερα τρίτα· τα έξι πέμπτα, 6 προς 5 είναι μικρότερο από τον προηγούμενο, δηλαδή τα πέντε τέταρτα ή 5 προς 4, και το ίδιο συνεχίζεται σε όλη τη σειρά των αριθμών.
Σημείωσαν επίσης ότι στη φυσική σειρά αριθμών κάθε αριθμός είναι το μισό του αθροίσματος των αριθμών πού τον περιστοιχίζουν.
Έτσι το 5 είναι το μισό του 6 συν 4. Επίσης πως το μισό του αθροίσματος του επόμενου ζευγαριού αριθμών, π.χ. το 5 είναι το μισό του 7 συν 3 κι αυτό συνεχίζεται μέχρι πού φτάνουμε στο σημείο όπου ο ένας αριθμός του ζευγαριού να είναι η μονάδα. Η ίδια η μονάδα δεν περιστοιχίζεται από δύο αριθμούς, τον ένα πάνω και τον άλλο κάτω. Έχει αριθμό μόνο πάνω απ’ αυτή. Έτσι ονομάζεται «πηγή κάθε πλήθους». Η φράση «αρτιόμορφος ζυγός» είναι ένας άλλος όρος που χρησιμοποιούταν στην αρχαιότητα για ένα είδος ζυγών αριθμών.
Αυτά πού διαιρούνται σε δύο ίσα μέρη και κάθε ένα απ’ αυτά τα μέρη διαιρείται ομοιόμορφα και η ομοιόμορφη διαίρεση συνεχίζεται μέχρι να προκύψει η μονάδα. Ένας τέτοιος αριθμός είναι το 64. Οι αριθμοί αποτελούν μία σειρά, αρχίζοντας από τη μονάδα και σχηματίζοντας κάθε φορά ένα λόγο «δύο» μεταξύ τους, όπως 1, 2, 4, 8, 16, 32. 0 όρος «αρτιόμορφος μονός», αναφερόμενος σε ένα ζυγό αριθμό, όπως 6, 10, 14, 18, πού όταν διαιρεθούν σε δύο ίσα μέρη, αυτά τα μέρη δεν μπορούν νά διαιρεθούν ξανά σε ίσα μέρη. Μπορεί νά σχηματιστεί μία σειρά τέτοιων αριθμών με διπλασιασμό των αριθμών μίας σειράς από μονούς αριθμούς: οι 1, 3, 3, 5, 7, 9, μας δίδουν τους 2, 6, 10, 14, 18.
Οι μη αρτιόμορφοι ζυγοί αριθμοί μπορούν να χωριστούν σε δύο μέρη, κι αυτά τα μέρη να χωριστούν ξανά εξίσου, άλλά δεν μπορεί να συνεχιστεί αυτό μέχρι να φτάσουμε στη μονάδα. Τέτοιοι αριθμοί είναι το 24 και το 28. Οι μονοί αριθμοί μπορούν να θεωρηθούν από τρεις απόψεις, ως έξής:
«Πρώτοι και απλοί». Τέτοιοι αριθμοί είναι οι 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, δεν μπορούν να μετρηθούν με άλλους αριθμούς έκτός της μονάδας. Δε συντίθενται από άλλους αριθμούς, αλλά σχηματίζονται μόνο από τη μονάδα.
«Δεύτεροι και σύνθετοι». Είναι στην πραγματικότητα «μονοί», αλλά περιέχουν άλλους αριθμούς και συντίθενται απ’ αυτούς. Τέτοιοι είναι οι 9, 15, 21, 25, 27, 33 και 39. Αυτοί περιέχουν μέρη πού κατονομάζονται με έναν άλλο αριθμό ή λέξη, εκτός από τη βασική μονάδα. Έτσι το ένα τρίτο του εννιά είναι το 3, το ένα τρίτο του 15 είναι το 5 και το ένα πέμπτο είναι το 3. Αφού περιέχει έναν άλλο αριθμό ονομάζεται δεύτερος και αφού είναι επιδεκτικός διαίρεσης ονομάζεται σύνθετος.
Η τρίτη ομάδα μονών αριθμών είναι πιο περίπλοκη, αφού οι αριθμοί της είναι δεύτεροι και σύνθετοι, αλλά στη μεταξύ τους σχέση είναι πρώτοι και απλοί. Τέτοιοι είναι το 9 και το 25 και οι δύο διαιρούνται και ο καθένας απ’ αυτούς είναι δεύτερος και σύνθετος, αλλά δεν έχουν κοινό μέτρο. Έτσι το 3 που διαιρεί το 9, δε διαιρεί το 25.
Οι μονοί αριθμοί ταξινομούνται σ’ αυτές τις τρεις κατηγορίες με μία επινόηση πού ονομάζεται «Κόσκινο του Ερατοσθένη» και που είναι πολύ περίπλοκης φύσης.
Οι ζυγοί αριθμοί έχουν επίσης, διακριθεί από τους αρχαίους σε Τέλειους, Ελλιπείς και Υπεράφθονους. Υπερτέλειοι και Υπεράφθονοι είναι αριθμοί όπως οι 12 και 24. Ελλείπεις είναι αριθμοί όπως το 8 και το 14. Τέλειοι είναι αριθμοί όπως το 6 και το 28 που είναι ίσοι με το άθροισμα των μερών τους. Δηλαδή, το 28, έχει μισό του το 14, το ένα τέταρτό του είναι το 7, το ένα έβδομό του είναι το 4, το ένα δέκατο τέταρτό του είναι το 2 και το εικοστό όγδοό του είναι το 1, δηλαδή ποσότητες που προστιθέμενες δίνουν το 28.
Στους Ελλιπείς αριθμούς, όπως είναι το 14, το σύνολο του αριθμού υπερβαίνει τα μέρη του, δηλαδή το ένα έβδομο του 14 είναι το 2, το μισό του είναι το 7 και το ένα δέκατο τέταρτο είναι 1. Το άθροισμά τους είναι 10, δηλαδή λιγότερο από το 14.
Στους Υπεράφθονους αριθμούς, όπως είναι το 12, το άθροισμα των μερών του υπερβαίνει τον ίδιο τον αριθμό. Έτσι το ένα έκτο του 12 είναι το 2, το ένα τέταρτο είναι το 3, το ένα τρίτο είναι το 4, το μισό του είναι το 6 και το ένα δωδέκατο είναι το 1. Το άθροισμά τους είναι 16, δηλαδή μεγαλύτερο από το 12.
Οι Υπερτέλειοι αριθμοί φαίνονταν να μοιάζουν με τον Βριάρεω, το γίγαντα με τα εκατό χέρια, τα μέρη του είναι πολυάριθμα. Οι Ελλιπείς αριθμοί μοιάζουν με τους Κύκλωπες που είχαν μόνο ένα μάτι, ενώ οι Τέλειοι αριθμοί είχαν την ιδιοσυγκρασία της μετριοπάθειας και αμιλλώνται στην Αρετή. Στέκουν ανάμεσα στην υπερβολή και στην έλλειψη και δεν αντιπροσωπεύουν τον κολοφώνα όπως νόμιζαν μερικοί αρχαίοι.
Ο Βριάρεω είναι παιδί της Γης και του Ουρανού. Είχε εκατό χέρια, πενήντα κεφαλές. Ο Αριστοτέλης λέει πως οι Ηράκλειες Στήλες, καλούνταν Βριάρεω. Όταν ο Ηρακλής καθάρισε τη γη και τη θάλασσα και γινόμενος ευεργέτης των ανθρώπων, για να τον τιμήσουν έδωσαν το όνομά του στις στήλες. Σήμερα, ονομάζεται Γιβραλτάρ.
Οι Κύκλωπες είναι αγαθές οντότητες πλην του Πολύφημου. Το όνομα Κύκλωψ, συντίθεται από το «κύκλος» και «ώψ».
Η λέξη «κολοφών» δηλώνει την ολοκλήρωση του πράγματος, το έσχατο σημείο των άκρων, το ύψιστο σημείο, την κορωνίδα. Ακόμα σημαίνει το υψηλό ακρωτήριο. Η λέξη επί παθών, δηλαδή στην εφαρμογή της σε ορισμούς που αφορούν γεγονότα, σημαίνει «μεγάλα κακά, συμφορές».
Οι Τέλειοι αριθμοί είναι όπως οι αρετές λίγοι σε αριθμo.
 Οι άλλες δύο κατηγορίες είναι σαν τα ελαττώματα, που είναι πολυάριθμα, ακανόνιστα και ακαθόριστα.
Ανάμεσα στο 1 και στο 10 υπάρχει μόνο ένας τέλειος αριθμός, δηλαδή το 6 κι ανάμεσα στο 10 και στο 100 υπάρχει πάλι ένας, δηλαδή το 28.
Ανάμεσα στο 100 και στο 1000 υπάρχει μόνο ένας, ο 496. Ανάμεσα στο 1000 και στο 10000 υπάρχει επίσης ένας, ο 8128.
Οι μονοί αριθμοί ονομάζονται Γνώμονες, γιατί προστιθέμενοι σε τετράγωνα, διατηρούν το ίδιο σχήμα, όπως διαπιστώνουμε στη Γεωμετρία:

Ένας αριθμός πού σχηματίζεται από τον πολλαπλασιασμό ενός μονού και ενός ζυγού αριθμού ονομάζεται Ερμαφρόδιτος ή «αρρενοθήλυς».
0 Ιαμβλίχος, στην πραγματεία του για την Αριθμητική του Νικόμαχου, δίνει μια διαφορετική άποψη στους αριθμούς. Λέει ότι μερικοί είναι σαν φίλοι, ότι είναι Φίλιοι αριθμοί, όπως το 284 και το 220.
Ο Πυθαγόρας ορίζει το φίλο σαν «έτερος εγώ». Τα μέρη λοιπόν, αυτών των αριθμών σχηματίζουν έναν άλλο με τη φύση της φιλίας. Για παράδειγμα το 220 είναι ίσο με το άθροισμα των υποπολλαπλασίων, των ακριβών διαιρετέων του 284. δηλαδή, 1+2+4+71+142=220. Το 284 είναι ίσο με το άθροισμα των υποπολλαπλασίων του 220. Δηλαδή, 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.
Αναλυτικά, οι δύο αριθμοί 220 και 284.
Αριθμός Διαιρετέος Πηλίκο Αριθμός Διαιρετέος Πηλίκο
220/ 220 =1 284/ 284 =1
220/ 2 =110 284/ 2 =142
220/ 4 =55 284/ 4 =71
220/ 5 =44 284/ 71 =4
220/ 10 =22 284/ 141 =2
220/ 11 =20 -------------
220/ 20 =11 Σύνολο + 220
220/ 22 =10
220/ 44 =5
220/ 55 =4
220/ 110 =2
-------------
Σύνολο + 284
Ο Σιμπλίκιος δηλώνει πως οι Πυθαγόριοι είχαν ορίσει συντόμως την έννοια της τριάδος με τον ορισμό «καθετί έχει αρχή, μέσον και τέλος. Σε αυτό ορίζεται ο αριθμός της τριάδος.»
http://www.astro.gr/kipouros/numbers/index.htm