Ζήνων ό Έλεάτης...τό μισό είναι ίσον μέ τό διπλάσιόν του

ΤΑ <ΠΑΡΑΔΟΞΑ> ΤΟΥ ΖΗΝΩΝΟΣ

Μαθηματική απόδειξις του Ζήνωνος της ανυπαρξίας της κινήσεως. Ούτος θεωρεί εις το επίπεδον τρεις σειράς αντικειμένων, ως το σχήμα

::

Τα αντικείμενα Α μένουν ακίνητα. Τα αντικείμενα Β και Γ κινούνται συγχρόνως, άλλα κατ' άντίθετον διεύθυνσιν ως δεικνύουν τα βέλη. Όταν το Β₁ φθάση κάτωθεν του Α₈ θα έχη διέλθει δια των τεσσάρων στοιχείων Α₅, Α₆, Α₇, Α₈. Συγχρόνως το Γ θα έχη διέλθει δια των οκτώ στοιχείων Β₁, Β₂, Β₃, Β₄, Β₅, Β₆, Β₇, Β₈ και θά έχωμεν τελικώς την κάτωθι θέσιν οπότε παρατηρεί ο Ζήνων ότι ο Β₁ εις τον αυτόν χρόνον έχει διέλθει 4 ίσας αποστάσεις Α₁ , Α₂, Α₃ ,Α₄ και 8 ίσας αποστάσεις Γ₁, Γ₂, Γ₃ Γ₄, Γ₅, Γ₆, Γ₇, Γ₈, δηλαδή το Β₁ έχει μίαν απλήν ταχύτητα και συγχρόνως μίαν διπλήν, όπερ αδύνατον. Ο Αριστοτέλης απαντά ότι τούτο συμβαίνει διότι τα Α μένουν ακίνητα και τα Β και Γ κινούνται αντιθέτως, ως δηλαδή λέγομεν σήμερον, η κίνησις των Β προς τα Α είναι απόλυτως. ενώ η κίνησις των Β προς τα Γ είναι σχετική.

Εν συμπεράσματι ο Ζήνων ισχυρίζεται ότι εν σώμα δεν αποτελείται από πλήθος σημείων, εις χρόνος δεν αποτελείται από πλήθος χρονικών στιγμών, μία κίνησις δεν αποτελείται από πλήθος κινήσεων. Διότι εάν τα ποσά ταύτα διαιρούνται έπ’ άπειρον δεν είναι δυνατόν (κατά τον Ζήνωνα) παρά να φθάσωμεν εις το μηδέν. Εάν δε θελήσωμεν δια προσθέσεως να επανέλθω μεν εκεί όθεν εξεκινήσαμεν, τότε, αφού το τελευταίον απειροστόν μέρος της διαιρέσεως είναι μηδέν, πρέπει, συνεχώς διπλασιάζοντες τούτο, να φθάσωμεν εις το αρχικόν ποσόν. Αλλά άθροισμα πολλών μηδενικών μας δίδει αποτέλεσμα μηδέν.

Ο Αριστοτέλης απαντά εις τούτο ότι «Ο Ζήνων παραλογίζεται» διότι είναι ψεύδος ότι ο χρόνος αποτελείται από χρονικάς στιγμάς αδιαιρέτους. Διότι τόσον ο χρόνος, όσον και οιονδήποτε άλλο μέγεθος είναι διαιρετά επ' άπειρον. Οι σύγχρονοι παραδέχονται την γνώμην του Αριστοτέλους, είναι φανερόν όμως ότι τότε μεταπίπτομεν εις τα επιχειρήματα 1—2. εις τα όποια δεν υπάρχει ικανοποιητική απάντησις.

Ο Ζήνων έχει δώσει εκ των προτέρων την απάντησίν του, η οποία ανατρέπει ολόκληρον το οικοδόμημα των μαθηματικών και τοποθετεί την ανθρωπίνην γνώσιν εις εντελώς περιωρισμένον πλαίσιον. Διότι πάσα ανθρωπίνη γνώσις στηρίζεται επί τίνος υποθέσεως μη δυναμένης να ελεγχθή. Μία εκ των επιστημών π.χ. η Γεωμετρία στηρίζεται επί της υποθέσεως του σημείου η ενός γραμμικού στοιχείου. Ταύτα όμως είναι ακαθόριστα. Τούτο γίνεται καταληπτόν από την διατύπωσιν του ορισμού του σημείου. «Σημείον είναι παν ότι δεν έχει μέρος». Αλλ' αφού δεν έχει μέρος πως υπάρχει; Η γραμμή τις η επιφάνεια η στερεόν δύναται να διαιρεθή επ' άπειρον. Τότε κατά λογικόν συμπέρασμα θα φθάσωμεν με την απειροστήν διαίρεσιν εις το μηδέν ο Αριστοτέλης παραδέχεται ότι διαιρούντες επ' άπειρον, λαμβάνομεν τόσον μικρόν μέρος (χρόνου, χώρου μεγέθους τινός) όσον θέλομεν. Τότε όμως η έννοια σημείον του χώρου χρονική στιγμή, λαμβάνονται απλώς ως υποθέσεις μη δυνάμεναι ν' αποδειχθούν. Ακόμη περισσοτέρας δυσκολίας παρουσιάζει η έννοια γραμμικόν στοιχείον της νεωτέρας Γεωμετρίας οι νεώτεροι μαθηματικοί και φυσικοί συμφωνούν με τον Αριστοτέλη, εις δε τας θεωρίας αυτού περί δυνάμει και ενεργεία απείρου στηρίζουν ολόκληρον το οικοδόμημα της συχρόνου μαθηματικής επιστήμης. Δεν έπεται όμως ότι τα πρακτικά και χρήσιμα αποτελέσματα της επιστήμης έλυσαν τα προβλήματα, τα οποία έθεσεν ο Ζήνων. Τουναντίον ταύτα παραμένουν άλυτα και αποδεικνύουν ότι πάσα ανθρωπίνη γνώσις πάσα επιστήμη, είναι μορφής υποθετικής εντός ενός πλαισίου.

Αι έννοιαι χώρος, χρόνος, μέγεθος άπειρον, στηρίζονται επί τινός υποθέσεως, επί της οποίας δε δυνάμεθα ν' αποφανθώμεν κατηγορηματικώς. Ο Ζήνων δεν ήτο, εξ όσων δυνάμεθα να κρίνωμεν συστηματικός τις φιλόσοφός, υποστηρίζων ωρισμένην τινά φιλοσοφικήν θεωρίαν. Η προσπάθεια του έγκειται εις την απόδειξιν ότι πάσα ανθρωπίνη γνώσις, πάσα επιστήμη, είναι μορφής υποθετικής και κατά συνέπειαν αυστηρώς σχετική.

Ο Αρχιμήδης χρησιμοποιών την έννοιαν του απείρου κατά την απόδειξιν γεωμετρικής τίνος προτάσεως φαίνεται ότι σιωπηρώς συμφωνών με τας γνώμας του Ζήνωνος η είναι επηρεασμένος από ταύτας. Διότι δεν έχει εμπιστοσύνην εις την χρησιμοποίησιν της εννοίας του απείρου, ως τίνος θετικού δεδομένου, δι' ο δύνανται να γίνουν πράξεις μαθηματικαί. Δια τόν λόγο αυτόν, κατά την τελικήν φάσιν αποδείξεως τίνος είς ην χρησιμοποιείται η έννοια του απείρου χρησιμοποιεί ούτος την μέθοδον της εις άτοπον απαγωγής παραδεκτής εις την Γεωμετρίαν άνευ αμφισβητήσεων.

Καίτοι αι απαντήσεις του Αριστοτέλους επεκράτησαν και αποτελούν ως προς τας εννοίας του απείρου και του ορίου την βάσιν του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, εν τούτοις τα προβλήματα άτινα έθεσεν ο Ζήνων, μετά πάροδον 2300 ετών παραμένουν και θεωρούνται αναπάντητα και άλυτα.
Τας θεωρίας του Ζήνωνος εζήτησε να επεκτείνη ο κατά τι νεώτερος τούτου Σάμιος Μέλισσος, υποστηρίζων ότι, ο ορώμενος κόσμος είναι το είδωλον του πραγματικού κόσμου.

::