Ο Μετωνικός κύκλος της Σελήνης

Ο Μετωνικός Κύκλος

Περίπου το 432 π.Χ. από το Μέτωνα, έναν αστρονόμο Αθηναίο, έγινε η ανακάλυψη της περιόδου της Σελήνης που αποτελείται από 19 χρόνια, στης οποίας το τέλος, η Νέα Σελήνη γίνεται στην ίδια ημέρα του έτους. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται ακόμα, “Μετωνικός ενιαυτός” και “η περί του Ηλίου περιφορών των εννεκαιδεκαετηρίδων”.

Πάνω σε αυτό τοποθέτησε ο Μέτωνας, εκ του ασφαλούς τις διορθώσεις του Σεληνιακού ημερολογίου. Υπολόγισε και απεικόνισε τα 19 χρόνια με 235 σεληνιακούς μήνες που συνίστανται από 6.939 μέρες και 16,5 ώρες. Αυτό το διαχώρισε σε 125 γεμάτους μήνες από 30 ημέρες και σε 110 ατελείς μήνες με σύνολο 29 ημέρες ο καθένας, που τους αποκάλεσε Σεληνιακούς μήνες. Οι 235 γεμάτοι μήνες με 30 μέρες ο καθένας δίνει συνολικό διάστημα 7050 μέρες, όθεν γίνεται αναγκαίο να συγκρατήσει 110 μέρες ή 1 μέρα κάθε 64 μήνες. Ως εκ τούτου ο μήνας ο οποίος περιλαμβάνει την 64η μέρα γίνεται ένας ελλιπής μήνας. Η χρονική περίοδος του Μετωνικού Κύκλου ξεκίνησε στις 15 Ιουλίου 432 π.Χ.

Όπως είναι γνωστό, η επιστήμη σήμερα απόδειξε ότι, η Σεληνιακή περίοδος είναι 6939 μέρες και 14,5 ώρες. Οι υπολογισμοί του Μέτωνα έδειξαν ένα διαχωρισμό μόνο δύο ωρών. Το έτος αρχίζει την 10 μοίρα του Αιγόκερω. Αρχίζοντας από την 10η χρειάζεται 19 μοίρες για φθάσει στο τέλος του ζωδίου. Από την πρώτη μοίρα του Αιγόκερω μέχρι την 11η μοίρα είναι 10 μοίρες απόσταση. 19 μοίρες και 10 μοίρες έχουν σύνολο 29 μοίρες.

Ο μέσος όρος του διαστήματος στον οποίο ένας σεληνιακός μήνας θα γίνει, μπορεί να υπολογιστεί έναν πίνακα που συσχετίζει τις θέσεις του Ήλιου με το Ημερολόγιο. Αυτός ο πίνακας ακολουθεί πιο κάτω.

Ο Χρυσός Αριθμός του Μετωνικού κύκλου

είναι ο αριθμός από κάποιο έτος στο Μετωνικό Κύκλο των 235 Σεληνιακών μηνών που ισούται με 6939 μέρες και 16 ώρες και 31 λεπτά ή κατά προσέγγιση 19 έτη. Αυτό χρησιμεύει για να δώσει με ακρίβεια την ημερομηνία της ημέρας του Πάσχα. Ο κύκλος ξεκινά με το έτος στο οποίο ο σεληνιακός μήνας θα πέσει την 1η Ιανουαρίου στην 10η μοίρα του ζωδίου του Αιγόκερω, στην οποία ήταν η έναρξη της χριστιανικής περιόδου, 1 μ.Χ. Για να βρεις το Χρυσό Αριθμό σε κάποιο έτος, πρόσθεσε τον αριθμό 1 και διαίρεσε με το 19. Το υπόλοιπο θα δείχνει τον αριθμό του κύκλου. Αν δεν υπάρχει υπόλοιπο, ο Χρυσός Αριθμός είναι το 19. Το 1995 ξεκίνησε ένας νέος κύκλος, στην 1-1-1995 στις 11:56 π.μ ώρα Ελλάδας, για την πόλη των Αθηνών.

Επειδή, το σύνολο των ηλιακών και σεληνιακών ανομοιοτήτων μεταβάλλεται σε διαφορετικό έτος, το αντικείμενο του προσδιορισμού της ημερομηνίας και το γεωγραφικό μήκος μπορεί να είναι λάθος όπως μέχρι 2 ημέρες εκατέρωθεν, νωρίτερα ή αργότερα. Στη Γρηγοριανή Μεταρρύθμιση το 1582 αντικατέστησαν αυτό το λάθος από την παρεμβαλλόμενη ημέρα, ήτοι την 29 Φεβρουαρίου.

Ο πίνακας του Μετωνικού κύκλου

Πηγή: http://www.ellinikoarxeio.com/2010/11/metonikos-kuklos-selinis.html#ixzz1L8DTImEx

ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ "Ο Μετωνικός κύκλος της Σελήνης"

“OΣΤΟΜΑΧΙΟΝ”: ΤΟ ΑΡΧΑΙΟΤΕΡΟ ΓΝΩΣΤΟ PUZZLE

Το 2003, ένας επιχειρηματίας, που ήταν σε επαφή με την ομάδα, που εκείνη την εποχή αποκρυπτογραφούσε το παλίμψηστο τού Αρχιμήδη, ( Από το “Οστομάχιον” - Tangram, στον ολοκληρωτικό λογισμό), πρότεινε στην εταιρεία κατασκευής επιτραπέζιων παιχνιδιών puzzle, “Kadon”, να συμπεριλάβει στα προϊόντα της το “Κουτί τού Αρχιμήδη” (όπως αλλιώς αποκαλείται το “Οστομάχιον”). Όντως, μέσα στο ίδιο έτος, το puzzle εμφανίστηκε στην αγορά. - Διάφορα σχέδια, που καλείται ο παίκτης να συμπληρώσει. Από αριστερά προς τα δεξιά κι από επάνω προς κάτω: Ελέφαντας, αγριογούρουνο, χήνα που πετάει, αρματωμένος πολεμιστής, κυνηγός που παραμονεύει, σκύλος που γαβγίζει, περικεφαλαία, καράβι, ξίφος. “Οστομάχιον” ή “Στομάχιον”, σύμφωνα με τα αραβικά χειρόγραφα, ονομάζεται πραγματεία τού Αρχιμήδη, τής οποίας σώζονται μερικά αποσπάσματα. Αναφέρεται ως παιχνίδι διαδεδομένο στην αρχαιότητα, στο οποίο ζητούνταν να τοποθετηθούν 14 πλακουντοειδή ελεφάντινα οστάρια πολυγωνικής και τριγωνικής μορφής, έτσι ώστε να δημιουργούνται διάφορες μορφές. Μοιάζει με το σημερινό Τangram και θεωρείται το αρχαιότερο puzzle. Τότε τέθηκε και το ερώτημα πόσοι είναι οι διαφορετικοί συνδυασμοί, που σχηματίζουν τετράγωνο. Λίγο αργότερα βρέθηκε με τη βοήθεια ειδικού προγράμματος, ότι υπάρχουν 536 γεωμετρικοί συνδυασμοί και με τις συμμετρίες (περιστροφές, κατοπτρισμοί, πανομοιότυπα τρίγωνα) ο συνολικός αριθμός τους ανεβαίνει στούς 17.152. Ο επιχειρηματίας πρότεινε η 5η Ιουνίου να ονομαστεί «Ημέρα τού Αρχιμήδη». Το θέμα έλαβε δημοσιότητα και διάφοροι δημοσίευσαν τις απόψεις τους. Κατ΄ αρχήν τα πανομοιότυπα τρίγωνα είναι δύο και συγκεκριμένα τα τρίγωνα με γκρι και κίτρινο χρώμα στο παραπλεύρως σχήμα. Επίσης τα τρίγωνα με τις κόκκινες, πράσινες και μπλε βούλες πάντα πάνε ζευγάρι. Ο λόγος είναι, ότι το ένα τρίγωνο από κάθε ζεύγος περιέχει άρρητη γωνία, τέτοια, που δεν μπορεί να συμπεριληφθεί σε σημεία, όπου ενώνονται οι κορυφές των σχημάτων και όπου το άθροισμα των γωνιών είναι πάντα 360 μοίρες. Μπορούμε λοιπόν, να απλοποιήσουμε το “Οστομάχιον” ενοποιώντας τα τρία ζεύγη σχημάτων σε τρία νέα σχήματα χωρίς να επηρεάσουμε τον τελικό αριθμό λύσεων. Όμως, το νέο σχήμα, που προκύπτει από τα σχήματα με τις πράσινες βούλες, είναι πανομοιότυπο με το πράσινο σχήμα. Για χάρη απλοποίησης μπορούμε να δεχθούμε, ότι το νέο ζεύγος πανομοιότυπων τριγώνων αποτελεί μιά επί πλέον συμμετρία. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να μειωθεί ο αριθμός των συνδυασμών στο μισό (536:2=268). Ταυτόχρονα διπλασιάζονται οι συμμετρίες, οπότε ο συνολικός αριθμός των συνδυασμών παραμένει ο ίδιος, δηλαδή 17.152. Αν βέβαια θεωρήσουμε, ότι το ζεύγος των σχημάτων με τις πράσινες βούλες δεν συμπίπτει με το πράσινο σχήμα, επανερχόμαστε στον αρχικό υπολογισμό. Σύμφωνα με τον αλγόριθμο Logelium, όλα τα σχήματα τού “Οστομαχίου” μπορούν να παραχθούν από συνδυασμό των τριών πρώτων σχημάτων και μόνο ένα σχήμα απαιτεί και τη συμβολή τού τέταρτου. Κατόπιν το πρόβλημα "ποσοτικοποιείται", χρησιμοποιώντας μαθηματικά εργαλεία, όπως η αλγεβρική γεωμετρία. Έπειτα αναλαμβάνει η υπολογιστική δύναμη των ηλεκτρονικών υπολογιστών, να υπολογίσει όλους τούς δυνατούς συνδυασμούς και να ομαδοποιήσει τις ζητούμενες λύσεις. Το 2004, με τη βοήθεια τού προγραμματιστικού αλγορίθμου Logelium (απλοποιεί προβλήματα γεωμετρικών συνδυασμών δημιουργώντας όλα τα διαθέσιμα γεωμετρικά σχήματα με συνδυασμό τεσσάρων βασικών σχημάτων), ανακοινώθηκε, ότι το Οστομάχιον μπορεί να δώσει 637 διαφορετικά κυρτά πολύγωνα, δείχνοντας την πολλαπλότητα των μορφών, που μπορεί να παράγει και την ευελιξία του. Όσο μεγαλώνει ο αριθμός των γωνιών τόσο μειώνεται και ο αριθμός των μορφών σταματώντας στο δεκάγωνο. Το μοναδικό δεκάγωνο, που μπορεί να δώσει το “Οστομάχιον”, το οποίο μάλιστα περιλαμβάνει συμμετρία περιστροφής 180 μοίρες. Πιο συγκεκριμένα, το “Οστομάχιον” μπορεί να δώσει 3 διαφορετικά τρίγωνα, 58 τετράπλευρα (τετράγωνο, ρόμβος, ορθογώνια, τραπέζια κ.λπ.), 104 πεντάγωνα, 198 εξάγωνα, 181 επτάγωνα, 82 οκτάγωνα, 10 εννιάγωνα και 1 δεκάγωνο. Κάθε μια μορφή πολυγώνου από τις 637 μπορεί να κατασκευαστεί με διαφορετικούς συνδυασμούς, που ο αριθμός τους συνήθως ποικίλλει από λίγες δεκάδες έως πολλές εκατοντάδες. Ο συνολικός αριθμός συνδυασμών ανέρχεται στις δέκα χιλιάδες περίπου. Και όλα αυτά χωρίς τις συμμετρίες. Για παράδειγμα, το τετράγωνο, που είναι μια από τις 58 μορφές τετραπλεύρων, που δίνει το “Οστομάχιον”, περιλαμβάνει, όπως προαναφέραμε, 268 διαφορετικούς συνδυ- ασμούς, αριθμός, που ανεβαίνει στους 17.152 μαζί με τις συμμετρίες. Οι 8 συμμετρίες τού τετραγώνου. Τα εμβαδά των σχημάτων, από τα οποία αποτελείται το “Οστομάχιον” μπορούν εύκολα να υπολογιστούν με τη βοήθεια τού θεωρήματος Pick και είναι όλα ρητοί αριθμοί σε σχέση με το τετράγωνο, που σχηματίζουν όλα μαζί. Ο αυστριακός μαθηματικός Georg Alexander Pick, φίλος και συνεργάτης τού Αϊνστάιν, έμεινε στην ιστορία για ένα πολύ απλό θεώρημα, που διατύπωσε το 1899 και πήρε το όνομά του. Το θεώρημα Pick αναφέρει, ότι ένα πολύγωνο, τού οποίου όλες οι κορυφές αποτελούν σημεία ενός τετραγωνικού πλέγματος έχει εμβαδόν, που προκύπτει από τον τύπο: E = i + b/2 – 1. Όπου i, ο αριθμός των σημείων τού πλέγματος μέσα στο πολύγωνο (μπλε κουκκίδες) και b ο αριθμός των σημείων τού πλέγματος, που τέμνουν οι πλευρές τού πολυγώνου (κόκκινες κουκκίδες). Για παράδειγμα, το εμβαδόν τού παραπλεύρως κοίλου πολυγώνου είναι: 31 + 15/2 – 1 = 37,5. Το αποτέλεσμα εκφράζεται σε τετραγωνικές μονάδες, δηλαδή πόσο είναι το εμβαδόν τού πολυγώνου σε σχέση με το εμβαδόν ενός τετραγωνιδίου. Ο τύπος τού Pick χρησιμοποιείται κυρίως για την εύρεση του εμβαδού κοίλων πολυγώνων, όπου οι συνηθισμένοι τύποι εύρεσης εμβαδών δεν λειτουργούν. Έχει επίσης τροποποιηθεί για τρεις και περισσότερες διαστάσεις. http://www.freeinquiry.gr Τοny Manero

ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ "“OΣΤΟΜΑΧΙΟΝ”: ΤΟ ΑΡΧΑΙΟΤΕΡΟ ΓΝΩΣΤΟ PUZZLE"

Πυθαγόρας ο Σάμιος (580-500 π.Χ.)

Ο Πατριαρχης των Μαθηματικων. Αινιγματικός μυστικιστης ή παραγωγικός φιλόσοφος;

Πυθαγόρας – Γεννήθηκε στη Σάμο μεταξύ του 580 και 572 πχ και πέθανε στο Μεταπόντιο της Σικελίας το 500 με 490 πχ έζησε δηλαδή πολλά έτη σε σχέση με τους συγχρονούς του. Ιδρυτής και ηγέτης της Πυθαγορείου Αδελφότητας. Παρουσίασε πλούσιο έργο σε τομεις που σχετίζονται με τη γεωμετρία, τη φιλοσοφία, την αστρονομία, τη μουσική κλπ.

Εντάξει, μιλάμε για τον γενάρχη των μαθηματικών σε σημείο που να σκέφτεσαι με τι θα ασχολούνταν τα μαθηματικά στην εποχή μας αν δεν υπήρχε η δική του συνεισφορά και καθοδήγηση. Δε χρειάζεται να αναφέρουμε φαντάζομαι το Πυθαγόρειο Θεώρημα (το οποίο παρεπιπτόντως ανακαλυψαν και …(ποιοι άλλοι;) οι Κινεζοι- αλλά και οι Βαβυλώνιοι και οι Ινδοι!!!) ως βασική ανακάλυψη, αλλα να πούμε πως ο Πυθαγόρας καθιέρωσε τους όρους Φιλοσοφία (αγάπη για τη σοφία) και Μαθηματικά (ό,τι μπορεί να μαθευτεί) καθώς επίσης μελέτησε τη σχέση του μήκους μιας χορδης με τον ηχο που παράγει ανακαλύπτοντας παράλληλα την ένοοια της αρμονική μιας νότας και του λόγου ½ γιατην οκτάβα. Εν γένει μπορουμε με σιγουριά να πούμε πώς ο Πυθαγορας υπήρξε ο θεμελιωτής ένος μαθηματικου συστήματος με απαράιτητη απόδειξη των θεωρημάτων που ως τότε προέκυπταν απλά εμπειρικά και που είχε ως επίκεντρο τους ακέραιους αριθμούς. Αυτά ως προς το επιστημονικό έργο. Πάμε τώρα σε άλλες πιο πικάντικες πτυχές.

Οι Πυθαγόριοι επιδίδονταν σε αριθμητικό μυστικισμό αποδιδοντας ιδιότητες μαγικές ή θεικες στους αριθμούς (πχ το ένα ως ο δημιουργό όλων των αριθμών- πανω κάτω αυτό έδειξαν και οι Peano, Frege κλπ 2300 χρόνια μετά αν το καλόσκεφτει κανείς- το δύο αντιπροσωπέυει τη γνώμη, το τρία την αρμονία, το τέσσερα ως το πρώτο τετράγωνο αντιπροσωπεύει τη δικαιοσύνη κοκ). Ο πλεον ιερός αριθμός ήταν για αυτούς το δέκα η λεγόμενη τετρακτύς , αριθμός που αντιπροσώπευε το άθροισμα όλων των διαστάσεων του σύμπαντος(1+2+3+4 όπου 1 = σημείο – 0 διαστάσεις, 2 = ευθεία – 1 διασταση, 3 = επίπεδο – 2 διαστάσεις, 4 = τετράεδρο – 3 διαστάσεις). Για τους αλγεβριστές να πούμε πως το 10 είναι και τριγωνικος αριθμός (φανταστείτε τον τρόπο με τον οπόιο στηνουμε της μπαλες στο μπιλιάρδο και είστε μέσα!!!). Σύμβολο της Αδελφότητας ήταν ένα πεντάγωνο με εγγεγραμμένη μια πενταλφα και μέσα στην πεντάλφα αλλό ένα πεντάγωνο κοκ. Κατασκευάζεται έτσι ένα σχήμα όπου η διαγώνιος διαιρεί τη συνδιατέμνουσα σε δύο μερη, ενα μεγαλύτερο κι ένα μικρότερο, των οποίων ο λόγος είναι ο αριθμός φ , η χρυσή τομη , το όριο του λόγου δυο διαδοχικών αριθμών Fibonacci κλπ κλπ. Το ειρωνικότερο δε είναι ότι ο φ έιναι αριθμός άρρητος. Και το ειρωνικό στη υπόθεση αυτή είναι ότι το σύμβολο της αδελφότητας κατα κάποιο τρόπο προέβαλλε αυτο που για τους Πυθαγόρειους ήταν ανάθεμα, δηλαδη τους άρρητους. Για τους πυθαγόρειους, αριθμοί ήταν οι ακέραιοι και οι λόγοι που δημιουργόυνται απο αυτόυς (δηλαδή οι ρητοι). Αν εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα σε ένα ισοσκελες ορθογώνιο τριγωνο με καθετες πλευρες μήκους ένα προκύπτει υποτείνουσα μήκους √2 που είναι άρρητος αριθμος δηλάδη δε μπορεί να γραφτει σαν λόγος ακεράιων. Για χρόνια οι πυθαγοριοι κρατησαν μυστικη αυτη τη ανακάλυψη που έβαζε σε κινδυνο την τελειότητα του δημιουργμηματος τους και μαλιστα ο σχετικός μύθος λεεί πως ο καημένος Ιππασος ο Μεταπόντιος που τη διέρρευσε την πλήρωσε με τη ζωή του… Πολιτισμένοι μαθηματικοί… Ας πουμε απλα σε αυτό το σημείο πως μαζί με τον Ιππασο πέθανε και η αντίληψη των Πυθαγορείων για την θεική φύση των ακέραιων αριθμων (αν και ο Κρονεκερ σχεδόν 2500 χρονια μετά δεν είχε πειστει ακομα..) και ανοιξε ο δρόμος για τους άρρητους. Δηλαδη περασαμε στη γεωμετρία ως επιστήμη των συνεχών μεγεθών πχ μήκος. Πιο απλά καναμε το πρωτο περασμα απο το διακριτο στο συνεχές…

Τελειώνοντας να πω κατι που ήταν ανέκαθεν απορία μου. Από που βγαίνει το λατινικό calculus, στα ελληνικα λογισμός, και κατα συνέπεια το αγγλικό ρήμα calculate, υπολογίζω; Χωρίς έκπληξη οι προγονοί μας έβαλαν κι εδω το χεράκι τους. Οι Πυθαγόρειοι χρησιμοποιούσαν για να αναπαραστήσουν τα μεγέθη τα οποία μέτραγαν…χαλίκια. Χαλίκια => Κάχληκες => Calculus…

http://www.atopo.gr

ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ "Πυθαγόρας ο Σάμιος (580-500 π.Χ.)"

Υπατία η Αλεξανδρινή (364-415 μ.Χ.)

Με αφορμή την πρόσφατη κυκλοφορία της ταινίας Agora με θέμα εμπνευσμένο απο τη ζωη, το έργο και το θάνατο της Υπατίας έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον να μάθουμε (ή να θυμηθούμε!!) ποια ήταν αυτή η σπάνια γυναίκα και γιατί μπήκαν κάποιοι στον κόπο να κάνουν μια ταινία (με ιστορικές ανακρίβειες) για αυτήν 16 αιώνες μετά το θάνατό της

Υπατία η Αλεξανδρινή – Γεννήθηκε το 364 μ.Χ στην Αλεξάνδρεια. Κόρη του μαθηματικού και φιλόσοφου Θέωνα, σπούδασε στην Αθήνα στη σχολή του Πλούταρχου του Νεότερου κατ’ αρχήν και έλαβε υψηλότατη μόρφωση.
Παρήγαγε σπουδαιό έργο στα μαθηματικά και τη φιλοσοφία και γενικά, σύμφωνα με όλες τις πηγές, υπήρξε υπόδειγμα καλοσύνης, ηθικής, κάλλους και πνεύματος. Δολοφονήθηκε βίαια από χριστιανικό όχλο με την κατηγορία της μαγείας το 415 μ.Χ

Ας δούμε τη ζωή, τό έργο και το μαρτυρικό θάνατο της πλεον γνωστής γυναίκας μαθηματικού της αρχαιότητας. Η Υπατία γεννήθηκε στις 25 Νοεμβρίου του 364 μΧ στην Αλεξάνδρεια. Ήταν κόρη του μαθηματικού Θέωνα ο οποίος σε γραπτά του περιγράφει ότι ήθελε μέσω αυτής να δημιουργήσει «ένα τέλειο ανθρώπινο ον» .

Αφού λοιπόν τη δίδαξε ο ίδιος ότι μπορούσε σε θέματα ηθικής, φιλοσοφίας και μαθηματικών την έστειλε στις καλύτερες σχολές της εποχής (περίπου ότι κάνουν και οι σημερινοί γονείς που έχουν την ικανότητα δηλαδή να στείλουν τα παιδιά τους στα καλύτερα πανεπιστήμια σου κόσμου…). Συγκεκριμένα φοίτησε στη σχολή του Πλουτάρχου(το αντίστοιχο Harvard!) στην Αθήνα( η αντίστοιχη Αμερική!) αλλά και κοντά στον Πρόκλο, τον Ιεροκλή δηλαδή τους Νομπελίστες της εποχής.
Επέστρεψε στην Αλεξάνδρεια όπου και ανέλαβε μια Εδρα Φιλοσοφίας (ήταν λέει επίσημα διορισμένη να ερμηνεύει τα εργα του Πλάτωνα , του Αριστοτέλη κλπ), αλλά δίδασκε ακόμα μαθηματικά, μηχανική, αστρονομία!!
Μάλιστα δεχόταν στα μαθήματά της μαθητές όλων των θρησκειών, Χριστιανούς, Δωδεκαθεϊστές, Παγανιστές , Εβραίους (Μουσουλμάνους μη ψάχνετε, δεν υπήρχαν ακόμα).

Η σημαντικότερη προσφορά της στα μαθηματικά ήταν οι σχολιασμοί που έκανε στα -δυσνόητα για την εποχή- έργα των Διόφαντου και Απολλώνιου όπου και πρότεινε αρκετές νέες λύσεις σε υπάρχοντα προβλήματα κωνικών τομών και διοφαντικών εξισώσεων και άνοιξε νέους ορίζοντες στα έργα τους.
Επίσης συνεργάστηκε με τον πατέρα της στην αναθεώρηση και επανέκδοση των Στοιχείων του Ευκλείδη και στην έκδοση της Αλμαγέστης για λογαριασμό του Πτολεμαίου.

Εν τούτοις δεν περιορίστηκε μονάχα στα θεωρητικά μαθηματικά και την φιλοσοφία άλλα ιστορικές αναφορές επιβεβαιώνουν πως ασχολήθηκε και με τη μηχανική καθώς σε γράμματα της περιλαμβάνονται σχέδια ενός αστρολάβου, ενός οργάνου διύλισης και ενός οργάνου για τη μέτρηση της πυκνότητας υγρών.

Να σημειώσουμε πως –όπως οι σύγχρονοι καθηγητές πράττουν συχνά- τα κείμενα της είχαν αφετηρία τις παραδόσεις στους σπουδαστές της και αρχικά λειτουργούσαν ως «εγχειρίδια διδασκαλίας» ενώ δε μας διασώζεται κανένα έργο της σε πλήρη μορφή.

ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ "Υπατία η Αλεξανδρινή (364-415 μ.Χ.)"

Απολλώνιο πρόβλημα

Σχήμα 1: Μία λύση (με ροζ) στο Απολλώνιο πρόβλημα. Οι δοσμένοι κύκλοι σημειώνονται με μαύρο.

Σχήμα 2: Τέσσερα συμπληρωματικά ζεύγη λύσεων του Απολλώνιου προβλήματος. Οι δοσμένοι κύκλοι σημειώνονται με μαύρο.

Στην Ευκλείδεια γεωμετρία του επιπέδου το Απολλώνιο πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή κύκλων που να είναι εφαπτόμενοι σε τρεις δεδομένους κύκλους στο επίπεδο (Σχήμα 1). Το πρόβλημα έθεσε και έλυσε ο Απολλώνιος ο Περγαίος (περ. 262 π.Χ. - περ. 190 π.χ.) στο έργο του Ἐπαφαί. Το πρωτότυπο έργο έχει χαθεί και σώζονται μόνο αναφορές στα αποτελέσματά του από τον Πάππο. Για τρεις δεδομένους κύκλους εν γένει υπάρχουν οκτώ διαφορετικοί κύκλοι που εφάπτονται σε αυτούς (Σχήμα 2) και κάθε κύκλος περικλείει η όχι τους τρεις κατά διαφορετικό τρόπο.

Το 16ο αιώνα, ο Άντριαν φαν Ρόομεν έλυσε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τεμνόμενες υπερβολές χωρίς όμως να χρησιμοποιεί μόνο κατασκευές με κανόνα και διαβήτη. Ο Φρανσουά Βιέτ κατέληξε σε μία τέτοια λύση εργαζόμενος με απλούστερες περιπτώσεις, θεωρώντας μηδενική την ακτίνα ενός από τους τρεις δεδομένους κύκλους (εκφυλίζοντας τον σε σημείο) είτε θεωρώντας την άπειρη (οπότε ο κύκλος εκφυλίζεται σε ευθεία). Η προσέγγιση του Βιέτ, η οποία χρησιμοποιεί απλουστευμένες περιπτώσεις για να λύσει πολυπλοκότερες θεωρείται μία από τις πιθανές ανακατασκευές της λύσης του Απολλώνιου. Η μέθοδος του φαν Ρόομεν απλουστεύθηκε από τον Ισαάκ Νιούτον, ο οποίος απέδειξε ότι το πρόβλημα του Απολλώνιου είναι ισοδύναμο με την εύρεση ενός σημείου με γνωστές της διαφορές των αποστάσεών του από τρία γνωστά σημεία. Αυτό έχει εφαρμογή στην πλοήγηση και σε συστήματα προσδιορισμού θέσεως όπως το LORAN

Αργότερα οι μαθηματικοί εισήγαγαν αλγεβρικές μεθόδους, οι οποίες μετασχηματίζουν ένα γεωμετρικό πρόβλημα σε αλγεβρικές εξισώσεις. Αυτές οι μέθοδοι απλοποιήθηκαν εκμεταλλευόμενες την εγγενή συμμετρία του απολλώνιου προβλήματος. Επί παραδείγματι, οι κύκλοι-λύσεις εν γένει αποτελούν ζεύγη, όπου ο ένας περικλείει τους κύκλους που ο άλλος αποκλείει (Σχήμα 2). Ο Ζοζέφ Ντιάζ Ζεργκόν (Joseph Diaz Gergonne) χρησιμοποίησε αυτή την συμμετρία για μία κομψή απόδειξη με κανόνα και διαβήτη, ενώ άλλοι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν γεωμετρικούς μετασχηματισμούς όπως η απεικόνιση σε κύκλο για την απλοποίηση της διάταξης των δεδομένων κύκλων. Αυτές οι εξελίξεις παρέχουν το γεωμετρικό υπόβαθρο για αλγεβρικές μεθόδους (με χρήση της σφαιρικής γεωμετρίας του Lie) και ταξινόμηση των λύσεων με βάση τις 33 διαφορετικές διατάξεις των δεδομένων κύκλων.

Το Απολλώνιο πρόβλημα έχει πολλές προεκτάσεις. Μελετήθηκαν γενικεύσεις του σε τρεις (κατασκευή σφαίρας εφαπτόμενης σε τέσσερις δεδομένες) και παραπάνω διαστάσεις. Η αρχική διάταξη τριών εφαπτόμενων μεταξύ τους κύκλων έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Ο Ρενέ Ντεκάρτ πρότεινε μια εξίσωση που συνδέει την ακτίνα του ζητούμενου κύκλου με τις ακτίνες των τριών δεδομένων κύκλων, γνωστή και ως θεώρημα του Καρτέσιου. Η επαναληπτική λύση του απολλώνιου προβλήματος σε αυτή την περίπτωση, οδηγεί στην απολλώνιο έμβυσμα (apollonian gasket), το οποίο είναι ένα από τα πρώτα φράκταλ που περιγράφηκαν εντύπως, ενώ είναι σημαντικό στην θεωρία αριθμών μέσω των κύκλων του Φορντ και την μέθοδο κύκλου Χάρντι-Λίτλγουντ (Hardy–Littlewood circle method).

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ "Απολλώνιο πρόβλημα"

Ζήνων ο Ελεάτης (494-435 π.Χ.)

Ο Καταστροφικός Μαθηματικός. Μια εκνευριστική ιδιοφυία και ένας παράξενος αγώνας δρόμου. Ή αλλιώς…..doing the dirty job!

Ζήνων ο Ελεάτης – Γεννήθηκε το 494 πΧ. στην Ελέα της Ιταλίας όπου και πέθανε το 435(;) πΧ. Γιος του Τελευταγόρα και αγαπημένος μαθητής του Παρμενίδη μαζί με τον οποίον θεμελίωσαν την Ελεατική φιλοσοφική σχολή. Παρουσίασε σπουδαίο φιλοσοφικό κυρίως έργο που εφάπτεται στη σύγχρονη θεώρηση των Μαθηματικών. Η κύρια πηγή πληροφοριών μας για αυτόν είναι το έργο του Πλάτωνα – Παρμενίδης.

Το πνεύμα των Μαθηματικών στους αρχαίους μπορούμε να πούμε πως οδηγείται από δύο δαφορετικές κινητήριες δυνάμεις. Απο τη μία έχουμε ένα ρεύμα που θα μπορούσαμε να χαρακτηρίσουμε ως προοδευτικό με μαθηματικούς οπώς ο Εύδοξος και ο Αρχιμήδης και από την άλλη ένα πιο –με πολύ χαλαρή χρηση της λέξης- συντηρητικό με μαθηματικούς όπως ο Ζήνων και ο Ευκλείδης. Οι μεν πρώτοι πραγματεύτηκαν έννοιες που οδηγούν κατευθείαν στη σύγχρονη Μαθηματική Ανάλυση και πέτυχαν τολμηρά -και πολλές φορές πολύ αμφισβητήσιμα…- αποτελέσματα, ενώ οι δεύτεροι έμειναν προσκολλημένοι σε πιο γεωμετρικές αρχές επιτυγχάνοντας ένα πλούτο μαθηματικής γνώσης στερούμενης λαθών και αντιφάσεων αλλα αρκετά κενής απο νέα μαθηματική αλήθεια….. Σίγουρα συνεχιστής της δεύτερης αυτής «σχολής» -στο πνεύμα τουλάχιστον- μπορεί να χαρκτηριστεί ο Kronecker που με την οξύνοια του κατέκρινε τις μεθόδους του Απειροστικού Λογισμού, ενώ στον αντίποδα στέκουν επιστήμονες όπως ο Newton, ο Leibniz και βέβαια οι θεμελιωτές της συγχρονης Ανάλυσης Weierstrass, Cantor, Dedekind κλπ.

Όλη αυτή η μεγάλη εισαγωγή έγινε για να σας προετοιμάσει για τον προσωπικά αγαπημένο μου αρχαίο μαθηματικό [αν και ασχολήθηκε κυρίως με φιλοσοφικά θέματα που ανήκουν στη σφαίρα της Λογικής, αλλά τι άλλο είναι τα συγχρονα μαθηματικά (λέγε με Θεμελίωση των Μαθηματικών];;; -διαβάστε και κανένα Logicomix επιτέλους!) τον Ζήνωνα τον Ελεάτη. Πρόκειται για ένα χωριατόπαιδο που οι πηγές λένε πως ήταν πλήρως αυτοδίδακτος. Το καλό μας χωριατόπαιδο λοιπόν φτάνει στην Αθήνα σε μια ηλικία μεταξύ 30 και 45 ετών και αποστομώνει τα μεγάλα μυαλά της διανόησης με τα περίφημα 4 παραδοξά του. (Δεν πρόκειται για τον πατέρα του παράδοξου,τίτλος που παέι αναμφισβήτητα στον Επιβουλίδη ή Ευβουλίδη με το διάσημο παράδοξο του ψεύτη, αλλά σίγουρα πήγε την έννοια… καμια εκατοστή βηματα παρακάτω!!).

Το πιο γνωστό από αυτά , το οποίο υπάρχει και σε ένα βιβλίο μαθηματικών γυμνασίου πια , είναι βέβαια το παράδοξο του Αχιλλέα. Το – ομολογουμένως σουρεαλιστικό σκηνικό – είναι ότι ο Αχιλλέας κάνει αγώνα δρόμου με μια χελώνα και σαν τζεντλμαν αφήνει την αργή χελωνα να ξεκινήσει πρώτη. Όλοι μας ξέρουμε ότι στην πράξη ο Αχιλλέας όχι απλά θα φτάσει αλλά θα ξεπεράσει τη χελώνα με χαρακτηριστική άνεση Γιά να το σκεφτούμε λοιπόν με διάθεση Αρχαιοελληνική….. Αφού η χελώνα ξεκίνησε πρώτη, τη στιγμή που ξεκινάει ο Αχιλλέας αυτή θα βρίσκεται σε μια απόσταση Α βήματα μακριά του. Τη στιγμη που Αχιλλέας έχει καλύψει αυτά τα Α βήματα η χελώνα θα έχει κάνει μερικά βήματα ακόμα, έστω Β βήματα ακόμα (ομολογουμένως λίγα ακόμα, αλλά αφού κινείται δε θα βρίσκεται ακόμα στη θέση Α). Όταν ο Αχιλλέας καλύψει και αυτά τα Β βήματα η χελώνα και πάλι θα έχει διανύσει λίγη απόσταση ακόμα , έστω Γ βήματα , άρα και πάλι θα βρισκεται μπροστά από τον Αχιλλέα. Συνεχίζοντας επαγωγικά το συλλογισμό μας οδηγούμαστε στο συμπερασμα ότι ο Αχιλλέας δε θα ξεπεράσει ΠΟΤΕ τη χελώνα!!!!! Αυτό είναι ένα τυπικό δείγμα του πώς μπορούμε, μέσα απο φαινομενικά απλές διαδικάσίες, να οδηγηθούμε σε παράδοξα αποτελέσματα όταν διαχειριζόμαστε το άπειρο. Τα άλλα παράδοξα του Ζηνωνα αφορούσαν, όπως και αυτό του Αχιλλέα, τα φαινόμενα που παρατηρούνται κατά την κίνηση και ήταν το παράδοξο του βέλους, του σταδίου και του κινούμενου σώματος (παράδοξο της Διχοτόμησης). Δε θα ασχοληθούμε με αυτά καθως ο τρόπος προσέγγισης τους είναι πιο φιλοσοφικός, αλλά είναι όλα ενδείξεις του πνεύματος του Ζηνωνα. Ο Φιλόσοφος-Μαθηματικός πιθανότατα διαισθητικά αντιλήφθηκε τη διαφορετικότητα των φαινομένων που παρατηρούνται όταν ένα σώμα κινείται. Πολύ χοντρικά θα λέγαμε ότι και εδώ έχουμε να κάνουεμ με την αντίθεση διακριτού (σώμα σε στάση) και συνεχούς(σώμα σε κίνηση).

Ο Ζήνων ήταν ένας μη-παραγωγικός μαθηματικός. Ακριβολογώντας μπορούμε με ασφάλεια να πούμε πως δεν παρήγαγε κανένα νεο μαθηματικό ή φιλοσοφικό αποτέλεσμα!!! Ο Σένεκας μερικούς αιώνες αργότερα θα έλεγε αναφερόμενος στις διδασκαλίες της Ελεατικής σχολής: «Αν ακολουθήσω τον Παρμενίδη θα μείνω μόνο με το ΕΝΑ, αλλά αν ακολουθήσω τον Ζήνωνα το χάνω κι αυτό…». Ήταν όμως «σπεσιαλίστας» στο να αντικρούει συλλογισμούς αντιπάλων μαθηματικών και φιλοσόφων σε εκνευριστικό σημείο… Αυτός ο καταστροφικός, αναρχικός μαθηματικός βρέθηκε στη ζωή του αντιμέτωπος με τον τύρρανο της Ελέας (Δέμυλο ή Νέαρχο σύμφωνα με άλλους) και υπάρχει το γνωστό ανέκδοτο σύμφωνα με το οποίο ο Ζηνων αρνήθηκε να συνεργαστεί μαζί του και μάλιστα έκοψε τη γλώσσα του με τα ίδια του τα δόντια και την έφτυσε στο πρόσωπο του τύρρανου!!

Προσπαθώντας να δούμε το έργο του Ζήνωνα με διαφορετική άποψη, δε μπορούμε παρά να σκεφτούμε πόσοι μη-παραγωγικοί μαθηματικοί υπάρχουν στις μέρες μας. Δάσκαλοι σχολείων, φροντιστηρίων αλλά ακόμα και ακαδημαϊκοί. Αλλά πριν βιαστούμε να καταδικάσουμε , πρέπει να κατανοήσουμε πως η πορεία της επιστήμης έιναι τέτοια που εξελίσσεται σε νέα γνώση μέσω μιας σειράς αποτυχημένων προσπαθειών. Οι μαθηματικοί για αιώνες έψαχναν αλγεβρική μέθοδο επίλυσης της πεμπτοβάθμιας πολυωνυμικής εξίσωσης, μέχρι που οι Galois και Abel έδειξαν πως αυτό ήταν αδύνατο. Κάθε αποτυχημένη προσπάθεια όμως οδηγούσε ένα ακόμα βήμα πιο κόντα στην αλήθεια. Στη Φυσική κυριαρχούσαν λανθασμένες θεωρίες όπως ο Αιθέρας, το Φλόγιστον και η Θεωρία Σταθερόυ Σύμπαντος αλλά τα λάθη αυτών των θεωριών μας έφεραν πιο κοντά στι κυρίαρχες τώρα θεωρίες (που πολύ πίθανά θα καταρριφθούν και αυτές με τη σειρά τους κάποια στιγμή από άλλες…). Για κάθε αναγνωρισμένο γίγαντα επιστήμονα που παρήγαγε ένα νεό αποτέλεσμα, υπάρχουν μερικές δεκάδες άλλοι σκαφτιάδες που έκαναν τη χαμαλοδουλειά.. Αλλά έτσι είναι η ζωή!!

http://www.atopo.gr

ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ "Ζήνων ο Ελεάτης (494-435 π.Χ.)"

Oι Ελληνίδες μαθηματικοί της αρχαιότητας

Άρωμα γυναίκας είχαν τα μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα, όπως αποδεικνύει έρευνα του μαθηματικού Ευ. Σπανδάγου στην οποία αναφέρονται Τα Νέα (30.10.2007).
Μπορεί να έμεινε στην Ιστορία ως η μητέρα του Θησέα, αλλά πόσοι γνωρίζουν πως η Αίθρα ήταν δασκάλα λογιστικής; Και πως στη σύντροφο του σπουδαίου μαθηματικού Πυθαγόρα, Θεανώ, φέρεται ότι οφείλεται η θεωρία της χρυσής τομής; Είναι δύο μόλις από τις 40 άγνωστες αρχαίες Ελληνίδες μαθηματικούς, που αν και συνέβαλαν στην εξέλιξη της επιστήμης βυθίστηκαν στη λήθη της Ιστορίας. Χρειάστηκε να περάσουν 31 αιώνες για να έρθουν και πάλι στο φως και να διεκδικήσουν μια θέση στον επιστημονικό κόσμο, χάρη στην έρευνα που πραγματοποίησε ο μαθηματικός και συγγραφέας Ευάγγελος Σπανδάγος.

Η «σκυταλοδρομία» για την ανακάλυψη των άγνωστων αρχαίων Ελληνίδων μαθηματικών ξεκίνησε για τον βραβευμένο τόσο από τον Παγκόσμιο Όμιλο για την μελέτη των αρχαίων πολιτισμών όσο και από την Ακαδημία Αθηνών μαθηματικό, όταν ένας μαθητής του τον ρώτησε «εκτός από την Υπατία, που αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας, δεν υπήρχαν κι άλλες γυναίκες μαθηματικοί στην αρχαιότητα;». «Γύρισα σπίτι, άρχισα να ψάχνω βιβλία, να ρωτάω φίλους και γνωστούς, αλλά ουδείς γνώριζε κάτι», εξηγεί ο κ. Σπαγδάνος την αφορμή της περιπέτειας του στον κόσμο των γυναικών μαθηματικών. Μια ερευνητική περιπέτεια τεσσάρων ετών μαζί με την επίσης μαθηματικό, κόρη του Ρούλα που είχε ως αποτέλεσμα να εντοπίσει συνολικά 40 γυναίκες μαθηματικούς από τον 10ο αι. π.Χ. έως τον 5ο αι. μ.Χ.

Ποιο ήταν το προφίλ τους; Προέρχονται από διάφορες γωνιές του ελληνικού κόσμου. Οι περισσότερες είχαν σπουδάσει πέραν της βασικής εκπαίδευσης. Εκείνες που ανήκαν στην Πυθαγόρειο Σχολή δεν αντιμετώπιζαν προβλήματα, διότι ο Πυθαγόρας έκανε δεκτές γυναίκες στη σχολή του. Υπήρχαν και ορισμένες όμως όπως η Λασθενία από την Αρκαδία που φαίνεται πως φοίτησαν και στην Ακαδημία του Πλάτωνα ντυμένες ως άνδρες, επειδή δεν επιτρέπονταν γυναίκες. Ενδιαφέρον επίσης είναι πως ελάχιστες ήταν παντρεμένες και είχαν παιδιά.
Γιατί έμειναν στην αφάνεια; Κατά ένα μεγάλο ποσοστό, από τη στάση των αρχαίων κοινωνιών προς «τας πεπαιδευμένας γυναίκας», όπου η γυναίκα αντιμετωπιζόταν πάντα ως η διαφορετική, η διεφθαρμένη, η ανώμαλη ή η περίεργη που ξέφευγε από την κλασική εικόνα της νοικοκυράς, συζύγου και μητέρας.
Κατά ένα μικρότερο όμως η άγνοιά μας για τις γυναίκες αυτές οφείλεται και στην καταστροφή διαφόρων ιστορικών μαρτυριών με προεξάρχουσα την καταστροφή της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, ενώ ρόλο παίζει και το γεγονός πως υπάρχει μια αντιπάθεια τόσο προς τα μαθηματικά όσο και προς τα αρχαία ελληνικά.
Υπάρχει πιθανότητα να εντοπιστούν και άλλες γυναίκες επιστήμονες του αρχαίου κόσμου;
Η έρευνα συνεχίζεται και τα πάντα είναι πιθανά. Όσο ψάχνουμε ειδικά σε αραβικά χειρόγραφα τα οποία έχουν διασώσει σε μετάφραση αρχαία ελληνικά έργα που κάηκαν μαζί με τη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, υπάρχουν ελπίδες.
 Ακόμη και σήμερα όμως γυναίκες και μαθηματικά μοιάζουν με έννοιες ασύμβατες. Μάλιστα, ο πρόεδρος του Χάρβαρντ Λόρενς Σάμερς αναγκάστηκε να παραιτηθεί λίγο καιρό μετά τη δήλωσή του πως «οι γυναίκες δεν είναι φτιαγμένες για μαθηματικά!». «Ίσως η αντιμετώπιση των γυναικών που ασχολούνται με τα μαθηματικά να μην έχει αλλάξει πολύ από την αρχαιότητα», λέει στην εφημερίδα η καθηγήτρια στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Αθηνών Μαρία Φραγκουλοπούλου. «Ακόμη και σήμερα πολλοί παραξενεύονται όταν ακούνε πως μια γυναίκα είναι μαθηματικός, γεγονός που ίσως οφείλεται στο ότι τα μαθηματικά θεωρούνται δύσκολα. Δεδομένου δε, πως εμείς λογιζόμαστε ως το ασθενές φύλο...».

ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ "Oι Ελληνίδες μαθηματικοί της αρχαιότητας"

Ζήνων ό Έλεάτης...τό μισό είναι ίσον μέ τό διπλάσιόν του

ΤΑ <ΠΑΡΑΔΟΞΑ> ΤΟΥ ΖΗΝΩΝΟΣ

Μαθηματική απόδειξις του Ζήνωνος της ανυπαρξίας της κινήσεως. Ούτος θεωρεί εις το επίπεδον τρεις σειράς αντικειμένων, ως το σχήμα

::

Τα αντικείμενα Α μένουν ακίνητα. Τα αντικείμενα Β και Γ κινούνται συγχρόνως, άλλα κατ' άντίθετον διεύθυνσιν ως δεικνύουν τα βέλη. Όταν το Β₁ φθάση κάτωθεν του Α₈ θα έχη διέλθει δια των τεσσάρων στοιχείων Α₅, Α₆, Α₇, Α₈. Συγχρόνως το Γ θα έχη διέλθει δια των οκτώ στοιχείων Β₁, Β₂, Β₃, Β₄, Β₅, Β₆, Β₇, Β₈ και θά έχωμεν τελικώς την κάτωθι θέσιν οπότε παρατηρεί ο Ζήνων ότι ο Β₁ εις τον αυτόν χρόνον έχει διέλθει 4 ίσας αποστάσεις Α₁ , Α₂, Α₃ ,Α₄ και 8 ίσας αποστάσεις Γ₁, Γ₂, Γ₃ Γ₄, Γ₅, Γ₆, Γ₇, Γ₈, δηλαδή το Β₁ έχει μίαν απλήν ταχύτητα και συγχρόνως μίαν διπλήν, όπερ αδύνατον. Ο Αριστοτέλης απαντά ότι τούτο συμβαίνει διότι τα Α μένουν ακίνητα και τα Β και Γ κινούνται αντιθέτως, ως δηλαδή λέγομεν σήμερον, η κίνησις των Β προς τα Α είναι απόλυτως. ενώ η κίνησις των Β προς τα Γ είναι σχετική.

Εν συμπεράσματι ο Ζήνων ισχυρίζεται ότι εν σώμα δεν αποτελείται από πλήθος σημείων, εις χρόνος δεν αποτελείται από πλήθος χρονικών στιγμών, μία κίνησις δεν αποτελείται από πλήθος κινήσεων. Διότι εάν τα ποσά ταύτα διαιρούνται έπ’ άπειρον δεν είναι δυνατόν (κατά τον Ζήνωνα) παρά να φθάσωμεν εις το μηδέν. Εάν δε θελήσωμεν δια προσθέσεως να επανέλθω μεν εκεί όθεν εξεκινήσαμεν, τότε, αφού το τελευταίον απειροστόν μέρος της διαιρέσεως είναι μηδέν, πρέπει, συνεχώς διπλασιάζοντες τούτο, να φθάσωμεν εις το αρχικόν ποσόν. Αλλά άθροισμα πολλών μηδενικών μας δίδει αποτέλεσμα μηδέν.

Ο Αριστοτέλης απαντά εις τούτο ότι «Ο Ζήνων παραλογίζεται» διότι είναι ψεύδος ότι ο χρόνος αποτελείται από χρονικάς στιγμάς αδιαιρέτους. Διότι τόσον ο χρόνος, όσον και οιονδήποτε άλλο μέγεθος είναι διαιρετά επ' άπειρον. Οι σύγχρονοι παραδέχονται την γνώμην του Αριστοτέλους, είναι φανερόν όμως ότι τότε μεταπίπτομεν εις τα επιχειρήματα 1—2. εις τα όποια δεν υπάρχει ικανοποιητική απάντησις.

Ο Ζήνων έχει δώσει εκ των προτέρων την απάντησίν του, η οποία ανατρέπει ολόκληρον το οικοδόμημα των μαθηματικών και τοποθετεί την ανθρωπίνην γνώσιν εις εντελώς περιωρισμένον πλαίσιον. Διότι πάσα ανθρωπίνη γνώσις στηρίζεται επί τίνος υποθέσεως μη δυναμένης να ελεγχθή. Μία εκ των επιστημών π.χ. η Γεωμετρία στηρίζεται επί της υποθέσεως του σημείου η ενός γραμμικού στοιχείου. Ταύτα όμως είναι ακαθόριστα. Τούτο γίνεται καταληπτόν από την διατύπωσιν του ορισμού του σημείου. «Σημείον είναι παν ότι δεν έχει μέρος». Αλλ' αφού δεν έχει μέρος πως υπάρχει; Η γραμμή τις η επιφάνεια η στερεόν δύναται να διαιρεθή επ' άπειρον. Τότε κατά λογικόν συμπέρασμα θα φθάσωμεν με την απειροστήν διαίρεσιν εις το μηδέν ο Αριστοτέλης παραδέχεται ότι διαιρούντες επ' άπειρον, λαμβάνομεν τόσον μικρόν μέρος (χρόνου, χώρου μεγέθους τινός) όσον θέλομεν. Τότε όμως η έννοια σημείον του χώρου χρονική στιγμή, λαμβάνονται απλώς ως υποθέσεις μη δυνάμεναι ν' αποδειχθούν. Ακόμη περισσοτέρας δυσκολίας παρουσιάζει η έννοια γραμμικόν στοιχείον της νεωτέρας Γεωμετρίας οι νεώτεροι μαθηματικοί και φυσικοί συμφωνούν με τον Αριστοτέλη, εις δε τας θεωρίας αυτού περί δυνάμει και ενεργεία απείρου στηρίζουν ολόκληρον το οικοδόμημα της συχρόνου μαθηματικής επιστήμης. Δεν έπεται όμως ότι τα πρακτικά και χρήσιμα αποτελέσματα της επιστήμης έλυσαν τα προβλήματα, τα οποία έθεσεν ο Ζήνων. Τουναντίον ταύτα παραμένουν άλυτα και αποδεικνύουν ότι πάσα ανθρωπίνη γνώσις πάσα επιστήμη, είναι μορφής υποθετικής εντός ενός πλαισίου.

Αι έννοιαι χώρος, χρόνος, μέγεθος άπειρον, στηρίζονται επί τινός υποθέσεως, επί της οποίας δε δυνάμεθα ν' αποφανθώμεν κατηγορηματικώς. Ο Ζήνων δεν ήτο, εξ όσων δυνάμεθα να κρίνωμεν συστηματικός τις φιλόσοφός, υποστηρίζων ωρισμένην τινά φιλοσοφικήν θεωρίαν. Η προσπάθεια του έγκειται εις την απόδειξιν ότι πάσα ανθρωπίνη γνώσις, πάσα επιστήμη, είναι μορφής υποθετικής και κατά συνέπειαν αυστηρώς σχετική.

Ο Αρχιμήδης χρησιμοποιών την έννοιαν του απείρου κατά την απόδειξιν γεωμετρικής τίνος προτάσεως φαίνεται ότι σιωπηρώς συμφωνών με τας γνώμας του Ζήνωνος η είναι επηρεασμένος από ταύτας. Διότι δεν έχει εμπιστοσύνην εις την χρησιμοποίησιν της εννοίας του απείρου, ως τίνος θετικού δεδομένου, δι' ο δύνανται να γίνουν πράξεις μαθηματικαί. Δια τόν λόγο αυτόν, κατά την τελικήν φάσιν αποδείξεως τίνος είς ην χρησιμοποιείται η έννοια του απείρου χρησιμοποιεί ούτος την μέθοδον της εις άτοπον απαγωγής παραδεκτής εις την Γεωμετρίαν άνευ αμφισβητήσεων.

Καίτοι αι απαντήσεις του Αριστοτέλους επεκράτησαν και αποτελούν ως προς τας εννοίας του απείρου και του ορίου την βάσιν του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, εν τούτοις τα προβλήματα άτινα έθεσεν ο Ζήνων, μετά πάροδον 2300 ετών παραμένουν και θεωρούνται αναπάντητα και άλυτα.
Τας θεωρίας του Ζήνωνος εζήτησε να επεκτείνη ο κατά τι νεώτερος τούτου Σάμιος Μέλισσος, υποστηρίζων ότι, ο ορώμενος κόσμος είναι το είδωλον του πραγματικού κόσμου.

::

ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ "Ζήνων ό Έλεάτης...τό μισό είναι ίσον μέ τό διπλάσιόν του"