3ος αι. π.Χ.: O Απολλώνιος ο Περγαίος θέτει τις βάσεις της Αναλυτικής Γεωμετρίας

ΕΛΛΕΙΨΗ, ΥΠΕΡΒΟΛΗ, ΠΑΡΑΒΟΛΗ, ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Ο Απολλώνιος ο Περγαίος διατύπωσε σπουδαία θεωρήματα κυρίως περί των κωνικών τομών και ήταν ο πρώτος μαθηματικός, που χρησιμοποίησε τους όρους «κατηγμένη» (σήμερα λέγεται τεταγμένη) και «άξονας συντεταγμένων». Έθεσε τις βάσεις της Αναλυτικής Γεωμετρίας γράφοντας σπουδαίες μαθηματικές πραγματείες, από τις οποίες δυστυχώς μόνο μία σώθηκε κι αυτή όχι πλήρης, φέρει δε τον τίτλο «Κωνικά». Ο Απολλώνος γεννήθηκε στις Περγές, πόλη της Μικράς Ασίας κοντά στην Αττάλεια. Επειδή το όνομα Απολλώνιος το έφεραν περισσότεροι από 100 διακεκριμένοι επιστήμονες και καλλιτέχνες της αρχαιότητας ο μαθηματικός Απολλώνιος φέρεται συνήθως στη διεθνή βιβλιογραφία ως Απολλώνιος ο Περγαίος. Σπουδές στην Αλεξάνδρεια Ενώ ήταν έφηβος στάλθηκε από τον πατέρα του, ο οποίος ήταν εύπορος, για ανώτερες σπουδές στο Πανεπιστήμιο της Αλεξάνδρειας. Εκεί είχε καθηγητές τους μαθητές του Ευκλείδη και του Κόνωνος του Σαμίου (Πάππος, «Συναγωγή», VII 34 κ.εξ.). Οι νέες και σπουδαίες πραγματείες του Αρχιμήδη, ο οποίος ήταν 25 περίπου έτη μεγαλύτερός του διδάσκονταν ήδη στο Πανεπιστήμιο της Αλεξάνδρειας κι ο Απολλώνιος γνώριζε να επωφεληθεί από αυτές. Στην Αλεξάνδρεια κι ενώ ήταν ακόμη νέος συνέταξε σε οκτώ βιβλία το έργο «Κωνικά». Μετά πήγε στην Έφεσο, όπου γνωρίστηκε με άλλους σπουδαίους μαθηματικούς, τον Φιλονίδη και τον Εύδημο από την Πέργαμο. Μαζί με τον Εύδημο πήγαν στην Πέργαμο, όπου γνωρίστηκε με το βασιλιά Άτταλο (241 – 197 π.Χ.), ο οποίος είχε ιδρύσει την περίφημη βιβλιοθήκη της Περγάμου. Κατόπιν επέστρεψε στην Αλεξάνδρεια, όπου εξέδωσε τα «Κωνικά», αφού πρωτύτερα τα επεξεργάσθηκε ακόμη περισσότερο. Από τα «Κωνικά» τα τέσσερα πρώτα βιβλία σώθηκαν στην Ελληνική, τα τρία επόμενα στην Αραβική, ενώ το όγδοο χάθηκε. Κωνικές τομές Τα «Κωνικά» θεωρούνταν τα Ανώτερα Μαθηματικά των αρχαίων Ελλήνων, περιλαμβάνουν δε τη σπουδή των λεγόμενων κωνικών τομών. Με το όνομα κωνικές τομές νοούνται τα γεωμετρικά σχήματα παραβολή, έλλειψη και υπερβολή. Τα σχήματα αυτά προκύπτουν, όταν ένας κώνος τμηθεί κατά διάφορους τρόπους από ένα επίπεδο. Ένας από τους τελευταίους διευθυντές της Ακαδημίας του Πλάτωνος πρίν την κλείσει ο Ιουστινιανός, ο Πρόκλος (410 – 485 μ.Χ.), στα σχόλιά του επί του πρώτου βιβλίου του Ευκλείδη γράφει τα εξής: «Λέγουν οι περί τον Εύδημο (τον Ρόδιο μαθητή του Αριστοτέλη, τον πρώτο που έγραψε Ιστορία των Μαθηματικών), ότι ταύτα είναι ευρήματα της μούσας των Πυθαγορείων και η παραβολή επιφανειών και η υπερβολή και η έλλειψη. Εκ τούτων δε και οι νεώτεροι λαβόντες τα ονόματα τα μετέφεραν και στις κωνικές λεγόμενες γραμμές και ωνόμασαν εκ τούτων την μέν παραβολή, την δε υπερβολή, την δε έλλειψη, ενώ εκείνοι οι παλαιοί και θείοι άνδρες δια της παραβολής των επιφανειών θεωρούσαν ωρισμένη γραμμή εκ τούτων» (θεώρ. 44). Πρώτο έργο περί κωνικών σε τέσσερα βιβλία είχε δημοσιεύσει στην Αλεξάνδρεια ο Ευκλείδης, αλλά και στα «Στοιχεία» του (Ι 44, VI 28 και 29)∙ στηρίχθηκε κυρίως στις συναφείς έρευνες του Μεναίχμου και του Αρισταίου του Πρεσβύτερου. Αυτοί και μετά από αυτούς και ο Αρχιμήδης ονόμαζαν τις κωνικές γραμμές ως εξής: ορθογώνιου κώνου τομή, οξυγώνιου κώνου τομή και αμβλυγώνιου κώνου τομή. Ο Απολλώνιος διέγνωσε, ότι και οι τρείς αυτές γραμμές είναι δυνατόν να προέλθουν από την τομή ενός και μόνο κώνου και όχι τριών και τις ονόμασε παραβολή, έλλειψη και υπερβολή. Με τις έρευνές του κατώρθωσε να παρουσιάσει τη θεωρία των κωνικών τομών σε ένα τέλειο σύνολο, το οποίο κανένας από τους μεταγενέστερους δεν μπόρεσε να υπερβάλει κατά την τελειότητα. Στα τέσσερα πρώτα βιβλία των «Κωνικών» ο Απολλώνιος περιέλαβε τα στοιχειώδη θεωρήματα, που βρίσκονταν στο χαμένο αργότερα έργο του Ευκλείδη «Κωνικά Στοιχεία», καθώς επίσης και νέα θεωρήματα ανακαλυφθέντα από το Σάμιο μαθηματικό Κόνωνα και τον Νικοτέλη από την Αλεξάνδρεια. Εκτός των θεωρημάτων όμως αυτών πρόσθεσε και πολλά άλλα θεωρήματα, τα οποία ανακάλυψε ο ίδιος. Τα βιβλία 5–8 περιέχουν θεωρήματα αποκλειστικά απολλώνειας έμπνευσης. Περί του περιεχομένου του χαμένου όγδοου βιβλίου λαμβάνουμε γνώση μόνο σε γενικές γραμμές από λίγες λέξεις, που διαβάζουμε στο τέλος του προλόγου του πρώτου βιβλίου, όπου γίνεται μνεία του περιεχομένου και των οκτώ βιβλίων. Οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί θαύμασαν τον Απολλώνιο για τα περίφημα θεωρήματά του περί των κωνικών γραμμών και για τις νέες ονομασίες τους και τον αποκάλεσαν «μέγα γεωμέτρη». Άξονες συντεταγμένων – μετασχηματισμός συντεταγμένων Ο Απολλώνιος ήταν ο πρώτος μαθηματικός, που χρησιμοποίησε άξονες συντεταγμένων κι έθεσε τις βάσεις της Αναλυτικής Γεωμετρίας, την οποία θεμελίωσε λεπτομερέστερα μετά από 1.800 περίπου έτη ο Γάλλος μαθηματικός και φιλόσοφος Καρτέσιος. Ο Γερμανός καθηγητής Μάξ Σίμσον στο βιβλίο του «Ιστορία των μαθηματικών κατά την αρχαιότητα» γράφει: «Όσο αναληθές είναι, ότι οι νεώτεροι Γαλιλαίος, Φερμά, Λάιπνιτς, Νεύτων, ανακάλυψαν τον Διαφορικο Λογισμό, ενώ υπάρχουν τά έργα του Αρχιμήδη, τα οποία ομιλούν περί αυτού, άλλο τόσο είναι αναληθές, ότι οι νεώτεροι ανακάλυψαν τήν Αναλυτική Γεωμετρία, ενώ περί αυτής ομιλούν τά έργα τού Αρχιμήδη και του Απολλώνιου. Ο Απολλώνιος δέν εισήγαγε μόνο τις συντεταγμένες, αλλά και τον μετασχηματισμό των συντεταγμένων, ενώ ο Αρχιμήδης εισήγαγε Αναλυτική Γεωμετρία τριών διαστάσεων». (Gesch. der Mathematik, Berlin, 1909, σελ. 294, 16). Eκτός από τα «Κωνικά», ο Απολλώνιος είχε γράψει και άλλες πραγματείες. Από αυτές διασώθηκε μόνο η λύση του Δηλίου Προβλήματος (διπλασιασμός κύβου). Οι άλλες δεν σώθηκαν. Από μεταγενέστερους συγγραφείς γνωρίζουμε τους τίτλους των χαμένων του έργων, μερικών δε σε γενικές γραμμές και τό περιεχόμενο. Τα έργα αυτά είναι: «Πε­ρί λόγου αποτομής», δύο βιβλία. «Περί διωρισμένης τομής», δύο βιβλία. «Χωρίου απότομης», δύο βιβλία. «Περί επαφών», δύο βιβλία. «Περί νεύσεων», δύο βιβλία. «Περί επιπέδων (γεωμετρικών) τόπων», δύο βιβλία. Γιά το περιεχόμενο τής πραγματείας του Απολλώνιου «Περί επαφών» πληροφορούμαστε από τον μαθηματικό τής Αλεξάνδρειας Πάππο (γ΄ αι. μ.Χ.), ότι πρόκειται περί των εξής δέκα περιπτώσεων επαφής κύκλων, ευθειών και σημείων, ήτοι: Νά κατασκευασθεί κύκλος, ο οποίος: Νά διέρχεται από τρία ση­μεία. Νά εφάπτεται μίας ευθείας. Νά διέρχεται από δύο σημεία και νά εφάπτεται μίας ευθείας. Νά διέρχεται από ένα σημείο και νά εφάπτεται δύο ευθειών. Νά διέρχεται από δύο σημεία καί νά εφάπτε­ται ενός κύκλου. Νά εφάπτεται δύο κύκλων και να διέρχεται από ένα σημείο. Νά εφάπτεται δύο κύκλων καί μίας ευθείας. Νά εφάπτεται ενός κύκλου και μίας ευθείας καί νά διέρχεται από ένα σημείο. Νά εφά­πτεται δύο ευθειών και ενός κύκλου. Νά εφάπτεται τριών κύκλων. Το πρόβλημα, που όπως παραδίδεται εξαντλείται στις δέκα αυτές περιπτώσεις αποδεικνύει επί πλέον, ότι οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν και στοιχεία της θεωρίας «Περί συνδυασμών». Άλλα χαμένα έργα του Απολλώνιου είναι: · «Ωκυτόκιον» (=ταχύς υπολογιστής), δηλαδή θεωρία σύντομων πολλαπλασιασμών, διαιρέ­σεων κ.λπ.). Ο Ευτόκιος μας πληροφορεί, ότι στο έργο αυτό ο Απολλώνιος είχε βρει γιά τόν αριθμό π (π=3,14...) μεγαλύτερη προσ­έγγιση εκείνης την οποίαν είχε βρει ο Αρχιμήδης. [Στη «Βίβλο» («Βασιλειών Α’», ζ’ 23) ο θεός ορίζει το π=3. «Κατασκεύασε χυτή θάλασσα, διαμέτρου δέκα πήχεων από το ένα χείλος μέχρι του άλλου, σχήματος στρογγύλου... και περιφερείας τριάκοντα πήχεων». Πρόκειται για τη χειρότερη προσέγγιση, που είχε ποτέ πετύχει αρχαίος λαός (βλ. Γιάννη Λάζαρη: «Η Τεχνολογία των Θεών».) · Αστρονομική πρα­γματεία, στήν οποία ερμήνευε με τη θεωρία τών επικύκλων τις ανωμαλίες τής κίνησης των πλανητών, πρέσβευε δε το ηλιοκεντρικό σύστημα. · Σύγκριση του δωδεκάεδρου προς το εικοσάεδρο. · Η καθ’ όλου πραγματεία, όπου κατά πάσα πιθανότητα γινόταν διαπραγμάτευση των αρχών των μαθηματικών. · Περί ασύμμετρων μεγε­θών, μνημονευόμενη από τον Άραβα μαθηματικό Αμπού Οτμάν. · Περί των κινήσεων της Σελήνης. · Περί πυρίου, ήτοι Περί καυστικών κατόπτρων. · Περί της επί κυλίνδρου γεννώμενης ελικοειδούς γραμμής, η οποία ονομαζόταν κοχλίας. Ωκυτόκιον: Πρόδρομος της θεωρίας των αριθμομηχανών Αξίζει να τονισθεί, ότι οι τροχιές των πλανητών είναι ελλείψεις και των κομητών παραβολές και επομένως η σημερινή Αστρονομία δεν μπορεί να σπουδάσει τις κινήσεις τών άστρων αυτών χωρίς τη γνώση των περί κωνικών γραμμών θεωρημάτων του Απολλώνιου. Η κατασκευή τών οδόντων των οδοντωτών τροχών και άλλων λεπτών μερών πολύπλοκων μηχανών, όπως του Υπολογιστή των Αντικυθήρων, στηρίζεται επίσης στις κωνικές γραμμές. Τέλος η πραγματεία του Απολλώνιου «Ωκυτόκιον» θεωρείται κατά τη γνώμη τών ειδικών επιστημόνων ο πρόδρομος της θεωρίας τών αριθμομηχανών. * * * Ο Απολλώνιος ο Περγαίος και το έργο του αποτελούν ένα ακόμα κρίκο της μακράς αλυσίδας των αρχαίων ελληνικών επιστημονικών επιτευγμάτων των τελευταίων προχριστιανικών αιώνων, τότε, που οι Επιστήμες βρίσκονταν σε ύψιστη ακμή κι όχι σε παραμκή, όπως προπαγανδίζουν χριστιανοί θεωρητικοί επιχειρώντας να δικαιολογήσουν την ολομέτωπη επίθεση του χριστιανισμού ενάντια στην Επιστήμη και το βύθισμα της ανθρωπότητας στα χιλιόχρονα σκοτάδια του Μεσαίωνα. Για τον Απολλώνιο, που οι αρχαίοι αποκάλεσαν «μέγα γεωμέτρη», η χριστιανικού προσανατολισμού παρεχόμενη από το Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευμάτων «παιδεία» δεν κάνει μνεία κι έτσι οι σημερινοί Έλληνες τον αγνοούν παντελώς. Αντιθέτως γνωρίζουν άριστα για τον Αβραάμ, το Νώε, το Σαμψών κ.ά. φανταστικές βιβλικές προσωπικότητες. Ίων Δημόφιλος http://www.freeinquiry.gr Ηλεκτρολόγος – Ηλεκτρονικός Μηχανικός Ε.Μ.Π.